פתור את {l}{x/5+y/6=2}{2x/5-7y/6=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 6 } = 2 } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { 7 y } { 6 } = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,6.

$$6x+5y=60$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,6.

$$6\times 2x-5\times 7y=-150$$

הכפל את ‎6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎12.

$$12x-5\times 7y=-150$$

הכפל את ‎-5 ו- ‎7 כדי לקבל ‎-35.

$$12x-35y=-150$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+5y=60,12x-35y=-150$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+5y=60$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-5y+60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+60\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-5y+60.

$$x=-\frac{5}{6}y+10$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{6}+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎12x-35y=-150.

$$12\left(-\frac{5}{6}y+10\right)-35y=-150$$

הכפל את ‎12 ב- ‎-\frac{5y}{6}+10.

$$-10y+120-35y=-150$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-35y.

$$-45y+120=-150$$

החסר ‎120 משני אגפי המשוואה.

$$-45y=-270$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-45.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{6}y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{6}\times 6+10$$

הכפל את ‎-\frac{5}{6} ב- ‎6.

$$x=-5+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-5.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,6.

$$6x+5y=60$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,6.

$$6\times 2x-5\times 7y=-150$$

הכפל את ‎6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎12.

$$12x-5\times 7y=-150$$

הכפל את ‎-5 ו- ‎7 כדי לקבל ‎-35.

$$12x-35y=-150$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+5y=60,12x-35y=-150$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\12&-35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\-150\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&5\\12&-35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\12&-35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\12&-35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\12&-35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\-150\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\12&-35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\-150\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\12&-35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\-150\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{35}{6\left(-35\right)-5\times 12}&-\frac{5}{6\left(-35\right)-5\times 12}\\-\frac{12}{6\left(-35\right)-5\times 12}&\frac{6}{6\left(-35\right)-5\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\-150\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}&\frac{1}{54}\\\frac{2}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\-150\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}\times 60+\frac{1}{54}\left(-150\right)\\\frac{2}{45}\times 60-\frac{1}{45}\left(-150\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,6.

$$6x+5y=60$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,6.

$$6\times 2x-5\times 7y=-150$$

הכפל את ‎6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎12.

$$12x-5\times 7y=-150$$

הכפל את ‎-5 ו- ‎7 כדי לקבל ‎-35.

$$12x-35y=-150$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+5y=60,12x-35y=-150$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎12x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎12 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$12\times 6x+12\times 5y=12\times 60,6\times 12x+6\left(-35\right)y=6\left(-150\right)$$

פשט.

$$72x+60y=720,72x-210y=-900$$

החסר את ‎72x-210y=-900 מ- ‎72x+60y=720 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$72x-72x+60y+210y=720+900$$

הוסף את ‎72x ל- ‎-72x. האיברים ‎72x ו- ‎-72x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$60y+210y=720+900$$

הוסף את ‎60y ל- ‎210y.

$$270y=720+900$$

הוסף את ‎720 ל- ‎900.

$$270y=1620$$

חלק את שני האגפים ב- ‎270.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎12x-35y=-150. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$12x-35\times 6=-150$$

הכפל את ‎-35 ב- ‎6.

$$12x-210=-150$$

הוסף ‎210 לשני אגפי המשוואה.

$$12x=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=6$$