פתור את {l}{x/4+y/3=7}{2/3x+y/2=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=12$$

$$y=12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7$$

החסר ‎\frac{y}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{y}{3}+7.

$$x=-\frac{4}{3}y+28$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{3}+28 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14.

$$\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{4y}{3}+28.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14$$

הוסף את ‎-\frac{8y}{9} ל- ‎\frac{y}{2}.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14$$

החסר ‎\frac{56}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{18}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\times 12+28$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎12.

$$x=-16+28$$

הוסף את ‎28 ל- ‎-16.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=12,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{4} ו- ‎\frac{2x}{3} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{2}{3} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{4}.

$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14$$

פשט.

$$\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}$$

החסר את ‎\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2} מ- ‎\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{x}{6} ל- ‎-\frac{x}{6}. האיברים ‎\frac{x}{6} ו- ‎-\frac{x}{6} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{2y}{9} ל- ‎-\frac{y}{8}.

$$\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{14}{3} ל- ‎-\frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{72}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎12.

$$\frac{2}{3}x+6=14$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{3}x=8$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=12$$