\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 x - y } { 2 } - \frac { 2 - 2 y } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=3
y=4
גרף
שתף
הועתק ללוח
4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,2,6.
4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 6 ב- 2x-y.
4x+3y=12x-6y-4+4y
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 2-2y.
4x+3y=12x-2y-4
כנס את -6y ו- 4y כדי לקבל -2y.
4x+3y-12x=-2y-4
החסר 12x משני האגפים.
-8x+3y=-2y-4
כנס את 4x ו- -12x כדי לקבל -8x.
-8x+3y+2y=-4
הוסף 2y משני הצדדים.
-8x+5y=-4
כנס את 3y ו- 2y כדי לקבל 5y.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 20, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2,4,10.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x+y.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -10 ב- y-2.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
כנס את 4y ו- -10y כדי לקבל -6y.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y-3.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y-x-1.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
כנס את 5y ו- -2y כדי לקבל 3y.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
כנס את 5x ו- 2x כדי לקבל 7x.
8x-6y+20=7x+3y-13
חבר את -15 ו- 2 כדי לקבל -13.
8x-6y+20-7x=3y-13
החסר 7x משני האגפים.
x-6y+20=3y-13
כנס את 8x ו- -7x כדי לקבל x.
x-6y+20-3y=-13
החסר 3y משני האגפים.
x-9y+20=-13
כנס את -6y ו- -3y כדי לקבל -9y.
x-9y=-13-20
החסר 20 משני האגפים.
x-9y=-33
החסר את 20 מ- -13 כדי לקבל -33.
-8x+5y=-4,x-9y=-33
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
-8x+5y=-4
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
-8x=-5y-4
החסר 5y משני אגפי המשוואה.
x=-\frac{1}{8}\left(-5y-4\right)
חלק את שני האגפים ב- -8.
x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}
הכפל את -\frac{1}{8} ב- -5y-4.
\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}-9y=-33
השתמש ב- \frac{5y}{8}+\frac{1}{2} במקום x במשוואה השניה, x-9y=-33.
-\frac{67}{8}y+\frac{1}{2}=-33
הוסף את \frac{5y}{8} ל- -9y.
-\frac{67}{8}y=-\frac{67}{2}
החסר \frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.
y=4
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{67}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=\frac{5}{8}\times 4+\frac{1}{2}
השתמש ב- 4 במקום y ב- x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{5+1}{2}
הכפל את \frac{5}{8} ב- 4.
x=3
הוסף את \frac{1}{2} ל- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=3,y=4
המערכת נפתרה כעת.
4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,2,6.
4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 6 ב- 2x-y.
4x+3y=12x-6y-4+4y
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 2-2y.
4x+3y=12x-2y-4
כנס את -6y ו- 4y כדי לקבל -2y.
4x+3y-12x=-2y-4
החסר 12x משני האגפים.
-8x+3y=-2y-4
כנס את 4x ו- -12x כדי לקבל -8x.
-8x+3y+2y=-4
הוסף 2y משני הצדדים.
-8x+5y=-4
כנס את 3y ו- 2y כדי לקבל 5y.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 20, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2,4,10.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x+y.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -10 ב- y-2.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
כנס את 4y ו- -10y כדי לקבל -6y.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y-3.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y-x-1.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
כנס את 5y ו- -2y כדי לקבל 3y.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
כנס את 5x ו- 2x כדי לקבל 7x.
8x-6y+20=7x+3y-13
חבר את -15 ו- 2 כדי לקבל -13.
8x-6y+20-7x=3y-13
החסר 7x משני האגפים.
x-6y+20=3y-13
כנס את 8x ו- -7x כדי לקבל x.
x-6y+20-3y=-13
החסר 3y משני האגפים.
x-9y+20=-13
כנס את -6y ו- -3y כדי לקבל -9y.
x-9y=-13-20
החסר 20 משני האגפים.
x-9y=-33
החסר את 20 מ- -13 כדי לקבל -33.
-8x+5y=-4,x-9y=-33
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{5}{-8\left(-9\right)-5}\\-\frac{1}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}&-\frac{5}{67}\\-\frac{1}{67}&-\frac{8}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}\left(-4\right)-\frac{5}{67}\left(-33\right)\\-\frac{1}{67}\left(-4\right)-\frac{8}{67}\left(-33\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=3,y=4
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,2,6.
4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 6 ב- 2x-y.
4x+3y=12x-6y-4+4y
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 2-2y.
4x+3y=12x-2y-4
כנס את -6y ו- 4y כדי לקבל -2y.
4x+3y-12x=-2y-4
החסר 12x משני האגפים.
-8x+3y=-2y-4
כנס את 4x ו- -12x כדי לקבל -8x.
-8x+3y+2y=-4
הוסף 2y משני הצדדים.
-8x+5y=-4
כנס את 3y ו- 2y כדי לקבל 5y.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 20, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2,4,10.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x+y.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -10 ב- y-2.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
כנס את 4y ו- -10y כדי לקבל -6y.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y-3.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y-x-1.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
כנס את 5y ו- -2y כדי לקבל 3y.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
כנס את 5x ו- 2x כדי לקבל 7x.
8x-6y+20=7x+3y-13
חבר את -15 ו- 2 כדי לקבל -13.
8x-6y+20-7x=3y-13
החסר 7x משני האגפים.
x-6y+20=3y-13
כנס את 8x ו- -7x כדי לקבל x.
x-6y+20-3y=-13
החסר 3y משני האגפים.
x-9y+20=-13
כנס את -6y ו- -3y כדי לקבל -9y.
x-9y=-13-20
החסר 20 משני האגפים.
x-9y=-33
החסר את 20 מ- -13 כדי לקבל -33.
-8x+5y=-4,x-9y=-33
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
-8x+5y=-4,-8x-8\left(-9\right)y=-8\left(-33\right)
כדי להפוך את -8x ו- x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- -8.
-8x+5y=-4,-8x+72y=264
פשט.
-8x+8x+5y-72y=-4-264
החסר את -8x+72y=264 מ- -8x+5y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
5y-72y=-4-264
הוסף את -8x ל- 8x. האיברים -8x ו- 8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-67y=-4-264
הוסף את 5y ל- -72y.
-67y=-268
הוסף את -4 ל- -264.
y=4
חלק את שני האגפים ב- -67.
x-9\times 4=-33
השתמש ב- 4 במקום y ב- x-9y=-33. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x-36=-33
הכפל את -9 ב- 4.
x=3
הוסף 36 לשני אגפי המשוואה.
x=3,y=4
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}