פתור את {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

בצע את פעולות הכפל.

$$4x+3y=12-12$$

החסר את 12 מ- 12 כדי לקבל 0.

$$4x+3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 20, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -10 ב- y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

כנס את ‎4y ו- ‎-10y כדי לקבל ‎-6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

כנס את ‎5y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

כנס את ‎5x ו- ‎2x כדי לקבל ‎7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

חבר את ‎-15 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

החסר ‎7x משני האגפים.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

כנס את ‎8x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎x.

$$x-6y+20=3y-13$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-6y+20-3y=-13$$

כנס את ‎-6y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-9y.

$$x-9y+20=-13$$

החסר ‎20 משני האגפים.

$$x-9y=-13-20$$

החסר את 20 מ- -13 כדי לקבל -33.

$$x-9y=-33$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=0$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎-9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{39}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{44}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{44}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎\frac{44}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{33}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

בצע את פעולות הכפל.

$$4x+3y=12-12$$

החסר את 12 מ- 12 כדי לקבל 0.

$$4x+3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 20, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -10 ב- y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

כנס את ‎4y ו- ‎-10y כדי לקבל ‎-6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

כנס את ‎5y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

כנס את ‎5x ו- ‎2x כדי לקבל ‎7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

חבר את ‎-15 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

החסר ‎7x משני האגפים.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

כנס את ‎8x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎x.

$$x-6y+20=3y-13$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-6y+20-3y=-13$$

כנס את ‎-6y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-9y.

$$x-9y+20=-13$$

החסר ‎20 משני האגפים.

$$x-9y=-13-20$$

החסר את 20 מ- -13 כדי לקבל -33.

$$x-9y=-33$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

בצע את פעולות הכפל.

$$4x+3y=12-12$$

החסר את 12 מ- 12 כדי לקבל 0.

$$4x+3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 20, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -10 ב- y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

כנס את ‎4y ו- ‎-10y כדי לקבל ‎-6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

כנס את ‎5y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

כנס את ‎5x ו- ‎2x כדי לקבל ‎7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

חבר את ‎-15 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

החסר ‎7x משני האגפים.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

כנס את ‎8x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎x.

$$x-6y+20=3y-13$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-6y+20-3y=-13$$

כנס את ‎-6y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-9y.

$$x-9y+20=-13$$

החסר ‎20 משני האגפים.

$$x-9y=-13-20$$

החסר את 20 מ- -13 כדי לקבל -33.

$$x-9y=-33$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

פשט.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

החסר את ‎4x-36y=-132 מ- ‎4x+3y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+36y=132$$

הוסף את ‎3y ל- ‎36y.

$$39y=132$$

חלק את שני האגפים ב- ‎39.

$$y=\frac{44}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{44}{13} במקום y ב- ‎x-9y=-33. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎\frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

הוסף ‎\frac{396}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{33}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$