פתור את {l}{x/2-y+1/3=1}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } - \frac { y + 1 } { 3 } = 1 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y+1.

$$3x-2y-2=6$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$3x-2y=6+2$$

חבר את ‎6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎8.

$$3x-2y=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=8$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎8+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8+2y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=4.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+2y=4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{8+2y}{3}.

$$2y+8+2y=4$$

הוסף את ‎2y ל- ‎2y.

$$4y+8=4$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$4y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎-\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y+1.

$$3x-2y-2=6$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$3x-2y=6+2$$

חבר את ‎6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎8.

$$3x-2y=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 8+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- y+1.

$$3x-2y-2=6$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$3x-2y=6+2$$

חבר את ‎6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎8.

$$3x-2y=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

החסר את ‎3x+2y=4 מ- ‎3x-2y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-2y-2y=8-4$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-2y=8-4$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-2y.

$$-4y=8-4$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-4.

$$-4y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎3x+2y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\left(-1\right)=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$3x-2=4$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-1$$