פתור את {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

הכפל את ‎1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$3x+y=3\times 3$$

הכפל את ‎3 ו- ‎3 כדי לקבל ‎9.

$$3x+y=9$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

הכפל את ‎3 ו- ‎2 כדי לקבל ‎6.

$$6x-5y=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=9$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{3}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-5y.

$$-7y+18=-3$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎3.

$$x=-1+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-1.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

הכפל את ‎1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$3x+y=3\times 3$$

הכפל את ‎3 ו- ‎3 כדי לקבל ‎9.

$$3x+y=9$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

הכפל את ‎3 ו- ‎2 כדי לקבל ‎6.

$$6x-5y=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

הכפל את ‎1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$3x+y=3\times 3$$

הכפל את ‎3 ו- ‎3 כדי לקבל ‎9.

$$3x+y=9$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

הכפל את ‎3 ו- ‎2 כדי לקבל ‎6.

$$6x-5y=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

פשט.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

החסר את ‎18x-15y=-9 מ- ‎18x+6y=54 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y+15y=54+9$$

הוסף את ‎6y ל- ‎15y.

$$21y=54+9$$

הוסף את ‎54 ל- ‎9.

$$21y=63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎21.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎6x-5y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-5\times 3=-3$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎3.

$$6x-15=-3$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$