פתור את {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$x+y+2-3y=6$$

כנס את ‎y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-2y.

$$x-2y+2=6$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$x-2y=6-2$$

החסר את 2 מ- 6 כדי לקבל 4.

$$x-2y=4$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+4y=6x-8$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$3x+4y-6x=-8$$

כנס את ‎3x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-3x.

$$-3x+4y=-8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-2y=4$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$x=2y+4$$

השתמש ב- ‎4+2y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎4y.

$$-2y-12=-8$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=2y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=-4+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-4.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$x+y+2-3y=6$$

כנס את ‎y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-2y.

$$x-2y+2=6$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$x-2y=6-2$$

החסר את 2 מ- 6 כדי לקבל 4.

$$x-2y=4$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+4y=6x-8$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$3x+4y-6x=-8$$

כנס את ‎3x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-3x.

$$-3x+4y=-8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$x+y+2-3y=6$$

כנס את ‎y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-2y.

$$x-2y+2=6$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$x-2y=6-2$$

החסר את 2 מ- 6 כדי לקבל 4.

$$x-2y=4$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+4y=6x-8$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$3x+4y-6x=-8$$

כנס את ‎3x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-3x.

$$-3x+4y=-8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

פשט.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

החסר את ‎-3x+4y=-8 מ- ‎-3x+6y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-4y=-12+8$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-4y.

$$2y=-12+8$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎8.

$$2y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎-3x+4y=-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2.

$$-3x-8=-8$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$-3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-2$$