פתור את {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -5,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- y\left(y+5\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y ב- x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y+5 ב- x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

החסר ‎yx משני האגפים.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

כנס את ‎yx ו- ‎-yx כדי לקבל ‎0.

$$2y=7y+5x+35$$

החסר ‎7y משני האגפים.

$$2y-7y=5x+35$$

כנס את ‎2y ו- ‎-7y כדי לקבל ‎-5y.

$$-5y=5x+35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎35+5x.

$$y=-x-7$$

השתמש ב- ‎-x-7 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

הוסף את ‎4x ל- ‎2x.

$$6x+28=-1$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$6x=-29$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{29}{6} במקום x ב- ‎y=-x-7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

הוסף את ‎-7 ל- ‎\frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -5,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- y\left(y+5\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y ב- x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y+5 ב- x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

החסר ‎yx משני האגפים.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

כנס את ‎yx ו- ‎-yx כדי לקבל ‎0.

$$2y=7y+5x+35$$

החסר ‎7y משני האגפים.

$$2y-7y=5x+35$$

כנס את ‎2y ו- ‎-7y כדי לקבל ‎-5y.

$$-5y=5x+35$$

החסר ‎5x משני האגפים.

$$-5y-5x=35$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -5,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- y\left(y+5\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y ב- x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את y+5 ב- x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

החסר ‎yx משני האגפים.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

כנס את ‎yx ו- ‎-yx כדי לקבל ‎0.

$$2y=7y+5x+35$$

החסר ‎7y משני האגפים.

$$2y-7y=5x+35$$

כנס את ‎2y ו- ‎-7y כדי לקבל ‎-5y.

$$-5y=5x+35$$

החסר ‎5x משני האגפים.

$$-5y-5x=35$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

כדי להפוך את ‎-5y ו- ‎-4y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

פשט.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

החסר את ‎20y-10x=5 מ- ‎20y+20x=-140 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-20y. האיברים ‎20y ו- ‎-20y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20x+10x=-140-5$$

הוסף את ‎20x ל- ‎10x.

$$30x=-140-5$$

הוסף את ‎-140 ל- ‎-5.

$$30x=-145$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{29}{6} במקום x ב- ‎-4y+2x=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

הוסף ‎\frac{29}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$