פתור את {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

החסר את 2 מ- 4 כדי לקבל 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 64 ב- \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎64 ו- ‎4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

החסר ‎64\ln(2)b משני אגפי המשוואה.

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{16} ב- ‎-64\ln(2)b+32+64\ln(2).

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

השתמש ב- ‎-4\ln(2)b+2+4\ln(2) במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-2b=0.

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

הוסף את ‎-4\ln(2)b ל- ‎-2b.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

החסר ‎2+4\ln(2) משני אגפי המשוואה.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4\ln(2)-2.

$$b=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום b ב- ‎a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

הוסף את ‎2+4\ln(2) ל- ‎-4\ln(2).

$$a=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=2,b=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

החסר את 2 מ- 4 כדי לקבל 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 64 ב- \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎64 ו- ‎4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=2,b=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

החסר ‎2 משני האגפים.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

החסר את 2 מ- 4 כדי לקבל 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 64 ב- \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎64 ו- ‎4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

כדי להפוך את ‎16a ו- ‎a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎16.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

פשט.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

החסר את ‎16a-32b=0 מ- ‎16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

הוסף את ‎16a ל- ‎-16a. האיברים ‎16a ו- ‎-16a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

הוסף את ‎64\ln(2)b ל- ‎32b.

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎32+64\ln(2).

$$b=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום b ב- ‎a-2b=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$a=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=2,b=1$$