פתור את {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 40, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

הכפל את ‎10 ו- ‎5 כדי לקבל ‎50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 50 ב- x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

הכפל את ‎-4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -12 ב- 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

החסר את 12 מ- -150 כדי לקבל -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

החסר את 7 מ- 4 כדי לקבל -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

הוסף ‎35x משני הצדדים.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

כנס את ‎50x ו- ‎35x כדי לקבל ‎85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

הוסף ‎35y משני הצדדים.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

כנס את ‎-24y ו- ‎35y כדי לקבל ‎11y.

$$85x-162+11y=-15$$

הוסף ‎162 משני הצדדים.

$$85x+11y=-15+162$$

חבר את ‎-15 ו- ‎162 כדי לקבל ‎147.

$$85x+11y=147$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

החסר ‎35 משני האגפים.

$$6x-10y=21-35$$

החסר את 35 מ- 21 כדי לקבל -14.

$$6x-10y=-14$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$85x+11y=147$$

החסר ‎11y משני אגפי המשוואה.

$$85x=-11y+147$$

חלק את שני האגפים ב- ‎85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{85} ב- ‎-11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

השתמש ב- ‎\frac{-11y+147}{85} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

הוסף את ‎-\frac{66y}{85} ל- ‎-10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

החסר ‎\frac{882}{85} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{916}{85}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{518}{229}$$

השתמש ב- ‎\frac{518}{229} במקום y ב- ‎x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

הכפל את ‎-\frac{11}{85} ב- ‎\frac{518}{229} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

הוסף את ‎\frac{147}{85} ל- ‎-\frac{5698}{19465} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{329}{229}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 40, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

הכפל את ‎10 ו- ‎5 כדי לקבל ‎50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 50 ב- x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

הכפל את ‎-4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -12 ב- 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

החסר את 12 מ- -150 כדי לקבל -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

החסר את 7 מ- 4 כדי לקבל -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

הוסף ‎35x משני הצדדים.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

כנס את ‎50x ו- ‎35x כדי לקבל ‎85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

הוסף ‎35y משני הצדדים.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

כנס את ‎-24y ו- ‎35y כדי לקבל ‎11y.

$$85x-162+11y=-15$$

הוסף ‎162 משני הצדדים.

$$85x+11y=-15+162$$

חבר את ‎-15 ו- ‎162 כדי לקבל ‎147.

$$85x+11y=147$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

החסר ‎35 משני האגפים.

$$6x-10y=21-35$$

החסר את 35 מ- 21 כדי לקבל -14.

$$6x-10y=-14$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 40, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

הכפל את ‎10 ו- ‎5 כדי לקבל ‎50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 50 ב- x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

הכפל את ‎-4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -12 ב- 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

החסר את 12 מ- -150 כדי לקבל -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

החסר את 7 מ- 4 כדי לקבל -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

הוסף ‎35x משני הצדדים.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

כנס את ‎50x ו- ‎35x כדי לקבל ‎85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

הוסף ‎35y משני הצדדים.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

כנס את ‎-24y ו- ‎35y כדי לקבל ‎11y.

$$85x-162+11y=-15$$

הוסף ‎162 משני הצדדים.

$$85x+11y=-15+162$$

חבר את ‎-15 ו- ‎162 כדי לקבל ‎147.

$$85x+11y=147$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

החסר ‎35 משני האגפים.

$$6x-10y=21-35$$

החסר את 35 מ- 21 כדי לקבל -14.

$$6x-10y=-14$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

כדי להפוך את ‎85x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

פשט.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

החסר את ‎510x-850y=-1190 מ- ‎510x+66y=882 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

הוסף את ‎510x ל- ‎-510x. האיברים ‎510x ו- ‎-510x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$66y+850y=882+1190$$

הוסף את ‎66y ל- ‎850y.

$$916y=882+1190$$

הוסף את ‎882 ל- ‎1190.

$$916y=2072$$

חלק את שני האגפים ב- ‎916.

$$y=\frac{518}{229}$$

השתמש ב- ‎\frac{518}{229} במקום y ב- ‎6x-10y=-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎\frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

הוסף ‎\frac{5180}{229} לשני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{329}{229}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$