\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=3
y=1
גרף
שתף
הועתק ללוח
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-7.
9x-21-4y-2=0
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 2y+1.
9x-23-4y=0
החסר את 2 מ- -21 כדי לקבל -23.
9x-4y=23
הוסף 23 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-25y-20=-30
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 5y+4.
3x-14-25y=-30
החסר את 20 מ- 6 כדי לקבל -14.
3x-25y=-30+14
הוסף 14 משני הצדדים.
3x-25y=-16
חבר את -30 ו- 14 כדי לקבל -16.
9x-4y=23,3x-25y=-16
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
9x-4y=23
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
9x=4y+23
הוסף 4y לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)
חלק את שני האגפים ב- 9.
x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}
הכפל את \frac{1}{9} ב- 4y+23.
3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16
השתמש ב- \frac{4y+23}{9} במקום x במשוואה השניה, 3x-25y=-16.
\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16
הכפל את 3 ב- \frac{4y+23}{9}.
-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16
הוסף את \frac{4y}{3} ל- -25y.
-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}
החסר \frac{23}{3} משני אגפי המשוואה.
y=1
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{71}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=\frac{4+23}{9}
השתמש ב- 1 במקום y ב- x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=3
הוסף את \frac{23}{9} ל- \frac{4}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=3,y=1
המערכת נפתרה כעת.
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-7.
9x-21-4y-2=0
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 2y+1.
9x-23-4y=0
החסר את 2 מ- -21 כדי לקבל -23.
9x-4y=23
הוסף 23 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-25y-20=-30
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 5y+4.
3x-14-25y=-30
החסר את 20 מ- 6 כדי לקבל -14.
3x-25y=-30+14
הוסף 14 משני הצדדים.
3x-25y=-16
חבר את -30 ו- 14 כדי לקבל -16.
9x-4y=23,3x-25y=-16
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=3,y=1
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-7.
9x-21-4y-2=0
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 2y+1.
9x-23-4y=0
החסר את 2 מ- -21 כדי לקבל -23.
9x-4y=23
הוסף 23 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+2.
3x+6-25y-20=-30
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 5y+4.
3x-14-25y=-30
החסר את 20 מ- 6 כדי לקבל -14.
3x-25y=-30+14
הוסף 14 משני הצדדים.
3x-25y=-16
חבר את -30 ו- 14 כדי לקבל -16.
9x-4y=23,3x-25y=-16
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)
כדי להפוך את 9x ו- 3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 9.
27x-12y=69,27x-225y=-144
פשט.
27x-27x-12y+225y=69+144
החסר את 27x-225y=-144 מ- 27x-12y=69 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-12y+225y=69+144
הוסף את 27x ל- -27x. האיברים 27x ו- -27x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
213y=69+144
הוסף את -12y ל- 225y.
213y=213
הוסף את 69 ל- 144.
y=1
חלק את שני האגפים ב- 213.
3x-25=-16
השתמש ב- 1 במקום y ב- 3x-25y=-16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
3x=9
הוסף 25 לשני אגפי המשוואה.
x=3
חלק את שני האגפים ב- 3.
x=3,y=1
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}