\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=1
y=1
גרף
שתף
הועתק ללוח
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-1.
9x-3-8y+14=12
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 4y-7.
9x+11-8y=12
חבר את -3 ו- 14 כדי לקבל 11.
9x-8y=12-11
החסר 11 משני האגפים.
9x-8y=1
החסר את 11 מ- 12 כדי לקבל 1.
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6,12.
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3y-6.
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 5-x.
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
החסר את 10 מ- -18 כדי לקבל -28.
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
הכפל את 1 ו- 12 כדי לקבל 12.
9y-28+2x=-17
חבר את 12 ו- 5 כדי לקבל 17.
9y+2x=-17+28
הוסף 28 משני הצדדים.
9y+2x=11
חבר את -17 ו- 28 כדי לקבל 11.
9x-8y=1,2x+9y=11
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
9x-8y=1
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
9x=8y+1
הוסף 8y לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)
חלק את שני האגפים ב- 9.
x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}
הכפל את \frac{1}{9} ב- 8y+1.
2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11
השתמש ב- \frac{8y+1}{9} במקום x במשוואה השניה, 2x+9y=11.
\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11
הכפל את 2 ב- \frac{8y+1}{9}.
\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11
הוסף את \frac{16y}{9} ל- 9y.
\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}
החסר \frac{2}{9} משני אגפי המשוואה.
y=1
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{97}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=\frac{8+1}{9}
השתמש ב- 1 במקום y ב- x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=1
הוסף את \frac{1}{9} ל- \frac{8}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=1,y=1
המערכת נפתרה כעת.
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-1.
9x-3-8y+14=12
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 4y-7.
9x+11-8y=12
חבר את -3 ו- 14 כדי לקבל 11.
9x-8y=12-11
החסר 11 משני האגפים.
9x-8y=1
החסר את 11 מ- 12 כדי לקבל 1.
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6,12.
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3y-6.
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 5-x.
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
החסר את 10 מ- -18 כדי לקבל -28.
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
הכפל את 1 ו- 12 כדי לקבל 12.
9y-28+2x=-17
חבר את 12 ו- 5 כדי לקבל 17.
9y+2x=-17+28
הוסף 28 משני הצדדים.
9y+2x=11
חבר את -17 ו- 28 כדי לקבל 11.
9x-8y=1,2x+9y=11
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
עבור מטריצת 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=1,y=1
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-1.
9x-3-8y+14=12
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 4y-7.
9x+11-8y=12
חבר את -3 ו- 14 כדי לקבל 11.
9x-8y=12-11
החסר 11 משני האגפים.
9x-8y=1
החסר את 11 מ- 12 כדי לקבל 1.
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6,12.
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3y-6.
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- 5-x.
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
החסר את 10 מ- -18 כדי לקבל -28.
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
הכפל את 1 ו- 12 כדי לקבל 12.
9y-28+2x=-17
חבר את 12 ו- 5 כדי לקבל 17.
9y+2x=-17+28
הוסף 28 משני הצדדים.
9y+2x=11
חבר את -17 ו- 28 כדי לקבל 11.
9x-8y=1,2x+9y=11
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11
כדי להפוך את 9x ו- 2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 9.
18x-16y=2,18x+81y=99
פשט.
18x-18x-16y-81y=2-99
החסר את 18x+81y=99 מ- 18x-16y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-16y-81y=2-99
הוסף את 18x ל- -18x. האיברים 18x ו- -18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-97y=2-99
הוסף את -16y ל- -81y.
-97y=-97
הוסף את 2 ל- -99.
y=1
חלק את שני האגפים ב- -97.
2x+9=11
השתמש ב- 1 במקום y ב- 2x+9y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
2x=2
החסר 9 משני אגפי המשוואה.
x=1
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=1,y=1
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}