פתור את {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-5$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

הכפל את ‎-5 ו- ‎6 כדי לקבל ‎-30.

$$3x+5y=-30$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

החסר ‎14 משני האגפים.

$$2x+3y=-5-14$$

החסר את 14 מ- -5 כדי לקבל -19.

$$2x+3y=-19$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=-30$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y-30.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{3}-10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{5y}{3}-10.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎3y.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎-3.

$$x=5-10$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎5.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

הכפל את ‎-5 ו- ‎6 כדי לקבל ‎-30.

$$3x+5y=-30$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

החסר ‎14 משני האגפים.

$$2x+3y=-5-14$$

החסר את 14 מ- -5 כדי לקבל -19.

$$2x+3y=-19$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-5,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

הכפל את ‎-5 ו- ‎6 כדי לקבל ‎-30.

$$3x+5y=-30$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

החסר ‎14 משני האגפים.

$$2x+3y=-5-14$$

החסר את 14 מ- -5 כדי לקבל -19.

$$2x+3y=-19$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

פשט.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

החסר את ‎6x+9y=-57 מ- ‎6x+10y=-60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-9y=-60+57$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-9y.

$$y=-60+57$$

הוסף את ‎-60 ל- ‎57.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎2x+3y=-19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-3.

$$2x-9=-19$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-3$$