פתור את {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

החסר את 4 מ- -5 כדי לקבל -9.

$$2x-9+3y=-1$$

הוסף ‎9 משני הצדדים.

$$2x+3y=-1+9$$

חבר את ‎-1 ו- ‎9 כדי לקבל ‎8.

$$2x+3y=8$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=8$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{18}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

החסר את 4 מ- -5 כדי לקבל -9.

$$2x-9+3y=-1$$

הוסף ‎9 משני הצדדים.

$$2x+3y=-1+9$$

חבר את ‎-1 ו- ‎9 כדי לקבל ‎8.

$$2x+3y=8$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

החסר את 4 מ- -5 כדי לקבל -9.

$$2x-9+3y=-1$$

הוסף ‎9 משני הצדדים.

$$2x+3y=-1+9$$

חבר את ‎-1 ו- ‎9 כדי לקבל ‎8.

$$2x+3y=8$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

פשט.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

החסר את ‎-2x+2y=10 מ- ‎-2x-3y=-8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-2y=-8-10$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-2y.

$$-5y=-8-10$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎-10.

$$-5y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{5} במקום y ב- ‎-x+y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

החסר ‎\frac{18}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-x=\frac{7}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$