פתור את {l}{2x-4/3-y+3/9=0}{3x/8+y/2=-frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 4 } { 3 } - \frac { y + 3 } { 9 } = 0 } \\ { \frac { 3 x } { 8 } + \frac { y } { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1.777777778$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 9, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,9.

$$3\left(2x-4\right)-\left(y+3\right)=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-4.

$$6x-12-\left(y+3\right)=0$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎y+3, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$6x-12-y-3=0$$

החסר את 3 מ- -12 כדי לקבל -15.

$$6x-15-y=0$$

הוסף ‎15 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$6x-y=15$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 8,2.

$$3x+4y=-12$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x-y=15,3x+4y=-12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x-y=15$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$6x=y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎y+15.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{6}+\frac{5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=-12.

$$3\left(\frac{1}{6}y+\frac{5}{2}\right)+4y=-12$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{y}{6}+\frac{5}{2}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+4y=-12$$

הוסף את ‎\frac{y}{2} ל- ‎4y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=-12$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{39}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{3} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{6}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-\frac{13}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{13}{18}+\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{13}{18} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{16}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{9},y=-\frac{13}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 9, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,9.

$$3\left(2x-4\right)-\left(y+3\right)=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-4.

$$6x-12-\left(y+3\right)=0$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎y+3, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$6x-12-y-3=0$$

החסר את 3 מ- -12 כדי לקבל -15.

$$6x-15-y=0$$

הוסף ‎15 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$6x-y=15$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 8,2.

$$3x+4y=-12$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x-y=15,3x+4y=-12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{6\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{6\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{6\times 4-\left(-3\right)}&\frac{6}{6\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 15+\frac{1}{27}\left(-12\right)\\-\frac{1}{9}\times 15+\frac{2}{9}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{9}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{16}{9},y=-\frac{13}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 9, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,9.

$$3\left(2x-4\right)-\left(y+3\right)=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-4.

$$6x-12-\left(y+3\right)=0$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎y+3, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$6x-12-y-3=0$$

החסר את 3 מ- -12 כדי לקבל -15.

$$6x-15-y=0$$

הוסף ‎15 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$6x-y=15$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 8,2.

$$3x+4y=-12$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x-y=15,3x+4y=-12$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$3\times 6x+3\left(-1\right)y=3\times 15,6\times 3x+6\times 4y=6\left(-12\right)$$

פשט.

$$18x-3y=45,18x+24y=-72$$

החסר את ‎18x+24y=-72 מ- ‎18x-3y=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x-3y-24y=45+72$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-24y=45+72$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-24y.

$$-27y=45+72$$

הוסף את ‎45 ל- ‎72.

$$-27y=117$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-27.

$$y=-\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{3} במקום y ב- ‎3x+4y=-12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\left(-\frac{13}{3}\right)=-12$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{13}{3}.

$$3x-\frac{52}{3}=-12$$

הוסף ‎\frac{52}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{16}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{16}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{9},y=-\frac{13}{3}$$