פתור את {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2x+7y+3y=0$$

כנס את ‎7y ו- ‎3y כדי לקבל ‎10y.

$$2x+10y=0$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$2x+5y-1+2x=4$$

כנס את ‎2x ו- ‎2x כדי לקבל ‎4x.

$$4x+5y-1=4$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$4x+5y=4+1$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$4x+5y=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+10y=0$$

החסר ‎10y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-10y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-10y.

$$x=-5y$$

השתמש ב- ‎-5y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-5y.

$$-20y+5y=5$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎5y.

$$-15y=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום y ב- ‎x=-5y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2x+7y+3y=0$$

כנס את ‎7y ו- ‎3y כדי לקבל ‎10y.

$$2x+10y=0$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$2x+5y-1+2x=4$$

כנס את ‎2x ו- ‎2x כדי לקבל ‎4x.

$$4x+5y-1=4$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$4x+5y=4+1$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$4x+5y=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$2x+7y+3y=0$$

כנס את ‎7y ו- ‎3y כדי לקבל ‎10y.

$$2x+10y=0$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$2x+5y-1+2x=4$$

כנס את ‎2x ו- ‎2x כדי לקבל ‎4x.

$$4x+5y-1=4$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$4x+5y=4+1$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$4x+5y=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

פשט.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

החסר את ‎8x+10y=10 מ- ‎8x+40y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$40y-10y=-10$$

הוסף את ‎40y ל- ‎-10y.

$$30y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום y ב- ‎4x+5y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

הוסף ‎\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{20}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{5}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$