פתור את {c}{y=2-2x}{5y+2x=14}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 - 2 x } \\ { 5 y + 2 x = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+2x=2$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$y=-2x+2$$

השתמש ב- ‎-2x+2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎5y+2x=14.

$$5\left(-2x+2\right)+2x=14$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2x+2.

$$-10x+10+2x=14$$

הוסף את ‎-10x ל- ‎2x.

$$-8x+10=14$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-8x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום x ב- ‎y=-2x+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$y=1+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎1.

$$y=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

החסר את ‎5y+2x=14 מ- ‎y+2x=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-5y+2x-2x=2-14$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-5y=2-14$$

הוסף את ‎y ל- ‎-5y.

$$-4y=2-14$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-14.

$$-4y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎5y+2x=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5\times 3+2x=14$$

הכפל את ‎5 ב- ‎3.

$$15+2x=14$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$