פתור את {c}{x+y=1}{y-2x=7}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 1 } \\ { y - 2 x = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=1,-2x+y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+1$$

השתמש ב- ‎-y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+y=7.

$$-2\left(-y+1\right)+y=7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-y+1.

$$2y-2+y=7$$

הוסף את ‎2y ל- ‎y.

$$3y-2=7$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-3.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=1,-2x+y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 7\\\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=1,-2x+y=7$$

החסר את ‎-2x+y=7 מ- ‎x+y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+2x+y-y=1-7$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+2x=1-7$$

הוסף את ‎x ל- ‎2x.

$$3x=1-7$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-7.

$$3x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎-2x+y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-2\left(-2\right)+y=7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2.

$$4+y=7$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$y=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$