פתור את {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2y+5x=12$$

החסר ‎5x משני אגפי המשוואה.

$$2y=-5x+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

השתמש ב- ‎-\frac{5x}{2}+6 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-2x.

$$13x-36=-24$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$13x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$x=\frac{12}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{13} במקום x ב- ‎y=-\frac{5}{2}x+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎\frac{12}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

כדי להפוך את ‎2y ו- ‎-6y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

פשט.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

החסר את ‎-12y-4x=-48 מ- ‎-12y-30x=-72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎12y. האיברים ‎-12y ו- ‎12y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30x+4x=-72+48$$

הוסף את ‎-30x ל- ‎4x.

$$-26x=-72+48$$

הוסף את ‎-72 ל- ‎48.

$$-26x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$x=\frac{12}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{13} במקום x ב- ‎-6y-2x=-24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

הוסף ‎\frac{24}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=\frac{48}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$