פתור את {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=4$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y+8=3$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$5y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

פשט.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

החסר את ‎8x+6y=6 מ- ‎8x-4y=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-6y=16-6$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-6y.

$$-10y=16-6$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-6.

$$-10y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎4x+3y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-1.

$$4x-3=3$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$