פתור את {c}{2x+5y=8}{x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 8 } \\ { x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{39}{11} = 3\frac{6}{11} \approx 3.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=8$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+8.

$$x=-\frac{5}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-3y=3.

$$-\frac{5}{2}y+4-3y=3$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎-3y.

$$-\frac{11}{2}y+4=3$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{2}y=-1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{2}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{11}+4$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎\frac{2}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{11}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{5}{11}.

$$x=\frac{39}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-5}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 8+\frac{5}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+5y=8,2x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

פשט.

$$2x+5y=8,2x-6y=6$$

החסר את ‎2x-6y=6 מ- ‎2x+5y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+5y+6y=8-6$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+6y=8-6$$

הוסף את ‎5y ל- ‎6y.

$$11y=8-6$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-6.

$$11y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=\frac{2}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{11} במקום y ב- ‎x-3y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3\times \frac{2}{11}=3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{2}{11}.

$$x-\frac{6}{11}=3$$

הוסף ‎\frac{6}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{39}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$