פתור את {c}{2x+3y=13}{-6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=13$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+13}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x+y=11.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{-3y+13}{2}.

$$9y-39+y=11$$

הוסף את ‎9y ל- ‎y.

$$10y-39=11$$

הוסף ‎39 לשני אגפי המשוואה.

$$10y=50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎5.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

הוסף את ‎\frac{13}{2} ל- ‎-\frac{15}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11$$

פשט.

$$-12x-18y=-78,-12x+2y=22$$

החסר את ‎-12x+2y=22 מ- ‎-12x-18y=-78 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x-18y-2y=-78-22$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y-2y=-78-22$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎-2y.

$$-20y=-78-22$$

הוסף את ‎-78 ל- ‎-22.

$$-20y=-100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎-6x+y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x+5=11$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-6x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=5$$