פתור את {c}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+5y=1$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-5y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-5y+1.

$$x=5y-1$$

השתמש ב- ‎5y-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-5y.

$$-15y+2=11$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-15y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום y ב- ‎x=5y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-3.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

פשט.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

החסר את ‎2x+5y=-11 מ- ‎2x-10y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y-5y=-2+11$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-5y.

$$-15y=-2+11$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎11.

$$-15y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום y ב- ‎-2x-5y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$