פתור את lambda^3-27lambda^2+243lambda-729=0

$$\lambda ^ { 3 } - 27 \lambda ^ { 2 } + 243 \lambda - 729 = 0$$

פתור עבור λ

$$\lambda =9$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -729 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±729,±243,±81,±27,±9,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$\lambda =9$$

לפי משפט הגורמים , \lambda -k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎\lambda ^{3}-27\lambda ^{2}+243\lambda -729 ב- ‎\lambda -9 כדי לקבל ‎\lambda ^{2}-18\lambda +81. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$\lambda ^{2}-18\lambda +81=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-18 ב- b ואת ‎81 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$\lambda =\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 1\times 81}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$\lambda =\frac{18±0}{2}$$

הפתרונות זהים.

$$\lambda =9$$