פתור את ∫ (from 1 to 4) of sqrt{x}(1-sqrt{x}) wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 4 } \sqrt{ x } (1- \sqrt{ x } ) d x$$

הערך

$$-\frac{17}{6}\approx -2.833333333$$

שלבי פתרון

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \sqrt{x} ב- 1-\sqrt{x}.

$$\int _{1}^{4}\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

חשב את \sqrt{x} בחזקת 2 וקבל x.

$$\int _{1}^{4}\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int \sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

שכתב את ‎\sqrt{x} כ- ‎x^{\frac{1}{2}}. מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x ב\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. פשט.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^{2}}{2}-\left(\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

פשט.

$$-\frac{17}{6}$$