פתור את ∫ 2xleft(x^2+1right)^3 wrt x

$$\int{ 2x { \left( { x }^{ 2 } +1 \right) }^{ 3 } }d x$$

הערך

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}+1\right)^{3}.

$$\int 2x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 3‎ כדי לקבל ‎6.

$$\int 2x\left(x^{6}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$\int 2x\left(x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x ב- x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1.

$$\int 2x^{7}+6x^{5}+6x^{3}+2x\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 2x^{7}\mathrm{d}x+\int 6x^{5}\mathrm{d}x+\int 6x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$2\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{7}\mathrm{d}x ב\frac{x^{8}}{8}. הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{8}}{4}+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{5}\mathrm{d}x ב\frac{x^{6}}{6}. הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+2\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}$$

אם F\left(x\right) הוא אנטי-נגזרת של f\left(x\right), ולאחר מכן הערכה של כל antiderivatives של f\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של שילוב C\in \mathrm{R} לתוצאה.

$$x^{2}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{6}+\frac{x^{8}}{4}+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$2x\left(x^{2}+1\right)^{3}$$