פתור את ∫ left(4x-2right)^3 wrt x

$$\int{ { \left(4x-2 \right) }^{ 3 } }d x$$

הערך

$$\left(2x-1\right)^{4}+С$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(4x-2\right)^{3}.

$$\int 64x^{3}-96x^{2}+48x-8\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 64x^{3}\mathrm{d}x+\int -96x^{2}\mathrm{d}x+\int 48x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$64\int x^{3}\mathrm{d}x-96\int x^{2}\mathrm{d}x+48\int x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎64 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$16x^{4}-96\int x^{2}\mathrm{d}x+48\int x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎-96 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$16x^{4}-32x^{3}+48\int x\mathrm{d}x+\int -8\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎48 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}+\int -8\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה-8 באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}-8x$$

אם F\left(x\right) הוא אנטי-נגזרת של f\left(x\right), ולאחר מכן הערכה של כל antiderivatives של f\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של שילוב C\in \mathrm{R} לתוצאה.

$$16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}-8x+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$8\left(2x-1\right)^{3}$$