פתור את ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

הערך

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0.671572875$$

שלבי פתרון

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

שכתב את ‎\frac{1}{\sqrt{x}} כ- ‎x^{-\frac{1}{2}}. מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x ב\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. פשט והמר מצורה מעריכית לצורה רדיקלית.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

פשט.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$