פתור את ∫ (from 0 to 6) of (sqrt{6}x-x)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 6 } ( \sqrt { 6 } x - x ) ^ { 2 } d x$$

הערך

$$504-144\sqrt{6}\approx 151.273477039$$

שלבי פתרון

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int \left(\sqrt{6}x-x\right)^{2}\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מקבוע באמצעות \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\left(\sqrt{6}-1\right)^{2}\int x^{2}\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}.

$$\left(\sqrt{6}-1\right)^{2}\times \frac{x^{3}}{3}$$

פשט.

$$\frac{\left(7-2\sqrt{6}\right)x^{3}}{3}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{1}{3}\left(7-2\times 6^{\frac{1}{2}}\right)\times 6^{3}-\frac{1}{3}\left(7-2\times 6^{\frac{1}{2}}\right)\times 0^{3}$$

פשט.

$$504-144\sqrt{6}$$