פתור את ∫ (from 0 to 1) of sqrt{1+(2t)^2}

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + ( 2 t ) ^ { 2 } }$$

הערך

$$\sqrt{4t^{2}+1}$$

שלבי פתרון

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int \sqrt{1+\left(2t\right)^{2}}\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה\sqrt{1+\left(2t\right)^{2}} באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\sqrt{1+\left(2t\right)^{2}}x$$

פשט.

$$\sqrt{1+4t^{2}}x$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\left(1+4t^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\times 1-\left(1+4t^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\times 0$$

פשט.

$$\sqrt{1+4t^{2}}$$

גזור ביחס ל- ‎t

$$\frac{4t}{\sqrt{4t^{2}+1}}$$