פתור את ∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^3 wrt x=

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 3 } d x =$$

הערך

$$4305$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(4x-3\right)^{3}.

$$\int _{-2}^{5}64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int 64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 64x^{3}\mathrm{d}x+\int -144x^{2}\mathrm{d}x+\int 108x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$64\int x^{3}\mathrm{d}x-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎64 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$16x^{4}-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎-144 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$16x^{4}-48x^{3}+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎108 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}+\int -27\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה-27 באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}-27x$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$16\times 5^{4}-48\times 5^{3}+54\times 5^{2}-27\times 5-\left(16\left(-2\right)^{4}-48\left(-2\right)^{3}+54\left(-2\right)^{2}-27\left(-2\right)\right)$$

פשט.

$$4305$$