פתור את ∫ (from - 2 to 0) of (1/2x^4+1/4x^3-x) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 0 } ( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } + \frac { 1 } { 4 } x ^ { 3 } - x ) d x$$

הערך

$$\frac{21}{5}=4.2$$

שלבי פתרון

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int \frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{4}-x\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int \frac{x^{4}}{2}\mathrm{d}x+\int \frac{x^{3}}{4}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$\frac{\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}+\frac{\int x^{3}\mathrm{d}x}{4}-\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{4}\mathrm{d}x ב\frac{x^{5}}{5}. הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎\frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{10}+\frac{\int x^{3}\mathrm{d}x}{4}-\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{4}}{16}-\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{4}}{16}-\frac{x^{2}}{2}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{0^{5}}{10}+\frac{0^{4}}{16}-\frac{0^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-2\right)^{5}}{10}+\frac{\left(-2\right)^{4}}{16}-\frac{\left(-2\right)^{2}}{2}\right)$$

פשט.

$$\frac{21}{5}$$