פתור את ∫ (from - 1 to 3) of (3x+2)^2

$$\int _ { - 1 } ^ { 3 } ( 3 x + 2 ) ^ { 2 }$$

הערך

$$148$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3x+2\right)^{2}.

$$\int _{-1}^{3}9x^{2}+12x+4\mathrm{d}x$$

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int 9x^{2}+12x+4\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 9x^{2}\mathrm{d}x+\int 12x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$9\int x^{2}\mathrm{d}x+12\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$3x^{3}+12\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎12 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$3x^{3}+6x^{2}+\int 4\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה4 באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$3x^{3}+6x^{2}+4x$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$3\times 3^{3}+6\times 3^{2}+4\times 3-\left(3\left(-1\right)^{3}+6\left(-1\right)^{2}+4\left(-1\right)\right)$$

פשט.

$$148$$