פתור את ∫ (from - 1 to 1) of (2x^2-x^3) wrt x

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 2 x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) d x$$

הערך

$$\frac{4}{3}\approx 1.333333333$$

שלבי פתרון

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int 2x^{2}-x^{3}\mathrm{d}x$$

שלב את איבר הסיכום לפי איבר.

$$\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -x^{3}\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

מאחר ש\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

מאחר ש\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{2}{3}\times 1^{3}-\frac{1^{4}}{4}-\left(\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}-\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}\right)$$

פשט.

$$\frac{4}{3}$$