פתור את ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

הערך

$$-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

שלבי פתרון

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 1-y ב- y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

מאז \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int y\mathrm{d}y ב\frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

מאז \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int y^{2}\mathrm{d}y ב\frac{y^{3}}{3}. הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

פשט.

$$-\frac{2}{3}$$