פתור את ∫ 3x^2(2x^2+4)^2 wrt x

$$\int 3 x ^ { 2 } ( 2 x ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } d x$$

הערך

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}+С$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x^{2}+4\right)^{2}.

$$\int 3x^{2}\left(4\left(x^{2}\right)^{2}+16x^{2}+16\right)\mathrm{d}x$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$\int 3x^{2}\left(4x^{4}+16x^{2}+16\right)\mathrm{d}x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3x^{2} ב- 4x^{4}+16x^{2}+16.

$$\int 12x^{6}+48x^{4}+48x^{2}\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 12x^{6}\mathrm{d}x+\int 48x^{4}\mathrm{d}x+\int 48x^{2}\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$12\int x^{6}\mathrm{d}x+48\int x^{4}\mathrm{d}x+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{6}\mathrm{d}x ב\frac{x^{7}}{7}. הכפל את ‎12 ב- ‎\frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+48\int x^{4}\mathrm{d}x+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{4}\mathrm{d}x ב\frac{x^{5}}{5}. הכפל את ‎48 ב- ‎\frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎48 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}$$

אם F\left(x\right) הוא אנטי-נגזרת של f\left(x\right), ולאחר מכן הערכה של כל antiderivatives של f\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של שילוב C\in \mathrm{R} לתוצאה.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$12\left(x\left(x^{2}+2\right)\right)^{2}$$