פתור את ∫ (3x+2)^3

$$\int ( 3 x + 2 ) ^ { 3 }$$

הערך

$$\frac{\left(3x+2\right)^{4}}{12}+С$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(3x+2\right)^{3}.

$$\int 27x^{3}+54x^{2}+36x+8\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 27x^{3}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 36x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$27\int x^{3}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎27 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎54 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎36 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה8 באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x$$

אם F\left(x\right) הוא אנטי-נגזרת של f\left(x\right), ולאחר מכן הערכה של כל antiderivatives של f\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של שילוב C\in \mathrm{R} לתוצאה.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$\left(3x+2\right)^{3}$$