פתור את ∫ (2x^2+5)(x^2-3x) wrt x=

$$\int ( 2 x ^ { 2 } + 5 ) ( x ^ { 2 } - 3 x ) d x =$$

הערך

$$\frac{2x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-\frac{15x^{2}}{2}+С$$

שלבי פתרון

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x^{2}+5 ב- x^{2}-3x.

$$\int 2x^{4}-6x^{3}+5x^{2}-15x\mathrm{d}x$$

שלב את איבר הסיכום לפי איבר.

$$\int 2x^{4}\mathrm{d}x+\int -6x^{3}\mathrm{d}x+\int 5x^{2}\mathrm{d}x+\int -15x\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$2\int x^{4}\mathrm{d}x-6\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{2}\mathrm{d}x-15\int x\mathrm{d}x$$

מאחר ש\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int x^{4}\mathrm{d}x ב\frac{x^{5}}{5}. הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{2x^{5}}{5}-6\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{2}\mathrm{d}x-15\int x\mathrm{d}x$$

מאחר ש\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{2x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{2}+5\int x^{2}\mathrm{d}x-15\int x\mathrm{d}x$$

מאחר ש\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-15\int x\mathrm{d}x$$

מאחר ש\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎-15 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-\frac{15x^{2}}{2}$$

אם F\left(x\right) הוא נגזרת של f\left(x\right), אזי הערכה של כל antiderivatives הf\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של C\in \mathrm{R} שילוב לתוצאה.

$$\frac{2x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-\frac{15x^{2}}{2}+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$x\left(x-3\right)\left(2x^{2}+5\right)$$