פתור את ∫ (2x+7)^3 wrt x

$$\int ( 2 x + 7 ) ^ { 3 } d x$$

הערך

$$\frac{\left(2x+7\right)^{4}}{8}+С$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(2x+7\right)^{3}.

$$\int 8x^{3}+84x^{2}+294x+343\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 8x^{3}\mathrm{d}x+\int 84x^{2}\mathrm{d}x+\int 294x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$8\int x^{3}\mathrm{d}x+84\int x^{2}\mathrm{d}x+294\int x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{4}+84\int x^{2}\mathrm{d}x+294\int x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎84 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{4}+28x^{3}+294\int x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎294 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{4}+28x^{3}+147x^{2}+\int 343\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה343 באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{4}+28x^{3}+147x^{2}+343x$$

אם F\left(x\right) הוא אנטי-נגזרת של f\left(x\right), ולאחר מכן הערכה של כל antiderivatives של f\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של שילוב C\in \mathrm{R} לתוצאה.

$$2x^{4}+28x^{3}+147x^{2}+343x+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$\left(2x+7\right)^{3}$$