פתור את ∫ (1-sqrt[3]{x^2})^2 wrt x

$$\int ( 1 - \sqrt[ 3 ] { x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } d x$$

הערך

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x+С$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(1-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}.

$$\int 1-2\sqrt[3]{x^{2}}+\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה1 באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x-2\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x ב\frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}. הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}.

$$x-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x ב\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}.

$$x-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}$$

פשט.

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x$$

אם F\left(x\right) הוא אנטי-נגזרת של f\left(x\right), ולאחר מכן הערכה של כל antiderivatives של f\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של שילוב C\in \mathrm{R} לתוצאה.

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$\left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)^{2}$$