פתור את d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

הערך

$$\cos(x)$$

שלבים הכוללים שימוש בהגדרה של נגזרת

עבור פונקציה f\left(x\right), הנגזרת היא הגבול של \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} כאשר h עובר ל- 0, אם גבול זה קיים.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

השתמש בנוסחת הסכום עבור סינוס.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

הוצא את הגורם המשותף \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

כתוב מחדש את הגבול.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

השתמש בעובדה ש- ‎x הוא קבוע בעת חישוב גבולות כאשר ‎h עובר אל ‎0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

הגבול \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} הוא 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

כדי להעריך את הגבול ‎\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}‎, תחילה הכפל את המונה ואת המכנה ב- ‎\cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

הכפל את ‎\cos(h)+1 ב- ‎\cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

השתמש בזהות פיתגורס.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

כתוב מחדש את הגבול.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

הגבול \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} הוא 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

השתמש בעובדה ש- ‎\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}‎ הוא רציף ב- ‎0‎.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

השתמש בערך ‎0 בביטוי ‎\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$-\sin(x)$$