פתור את x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -\frac{1}{2},1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-1\right)\left(2x+1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

הכפל את ‎x-1 ו- ‎x-1 כדי לקבל ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

הכפל את ‎2x+1 ו- ‎2x+1 כדי לקבל ‎\left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-1 ב- 2x+1 ולכנס איברים דומים.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x^{2}-x-1 ב- 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

כנס את ‎4x^{2} ו- ‎6x^{2} כדי לקבל ‎10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

כנס את ‎4x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

החסר את 3 מ- 1 כדי לקבל -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

החסר ‎10x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-10x^{2} כדי לקבל ‎-9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

כנס את ‎-2x ו- ‎-x כדי לקבל ‎-3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

חבר את ‎1 ו- ‎2 כדי לקבל ‎3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -9 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

הכפל את ‎36 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

חלק את ‎3+3\sqrt{13} ב- ‎-18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3\sqrt{13} מ- ‎3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

חלק את ‎3-3\sqrt{13} ב- ‎-18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -\frac{1}{2},1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-1\right)\left(2x+1\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

הכפל את ‎x-1 ו- ‎x-1 כדי לקבל ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

הכפל את ‎2x+1 ו- ‎2x+1 כדי לקבל ‎\left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-1 ב- 2x+1 ולכנס איברים דומים.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x^{2}-x-1 ב- 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

כנס את ‎4x^{2} ו- ‎6x^{2} כדי לקבל ‎10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

כנס את ‎4x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

החסר את 3 מ- 1 כדי לקבל -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

החסר ‎10x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-10x^{2} כדי לקבל ‎-9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

כנס את ‎-2x ו- ‎-x כדי לקבל ‎-3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

החסר את 1 מ- -2 כדי לקבל -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

חילוק ב- ‎-9 מבטל את ההכפלה ב- ‎-9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-3}{-9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-3}{-9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

חלק את ‎\frac{1}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎\frac{1}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

החסר ‎\frac{1}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$