פתור את frac{3sqrt{2}+sqrt{5}}{sqrt{2}+1}

$$\frac{ 3 \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } }{ \sqrt{ 2 } +1 }$$

הערך

$$\sqrt{10}+6-\sqrt{5}-3\sqrt{2}\approx 2.683568996$$

שלבי פתרון

הפוך את המכנה של ‎\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{2}-1.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}$$

שקול את \left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

‎\sqrt{2} בריבוע. ‎1 בריבוע.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{2-1}$$

החסר את 1 מ- 2 כדי לקבל 1.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{1}$$

התוצאה של כל מספר המחולק באחד היא המספר עצמו.

$$\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)$$

החל את חוק הפילוג על-ידי הכפלת כל איבר של 3\sqrt{2}+\sqrt{5} בכל איבר של \sqrt{2}-1.

$$3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$3\times 2-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

הכפל את ‎3 ו- ‎2 כדי לקבל ‎6.

$$6-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

כדי להכפיל \sqrt{5} ו\sqrt{2}, הכפל את המספרים תחת השורש הריבועי.

$$6-3\sqrt{2}+\sqrt{10}-\sqrt{5}$$