פתור את frac{1+sqrt{15}}{1-sqrt{15}}

$$\frac{ 1+ \sqrt{ 15 } }{ 1- \sqrt{ 15 } }$$

הערך

$$\frac{-\sqrt{15}-8}{7}\approx -1.696140478$$

שלבי פתרון

הפוך את המכנה של ‎\frac{1+\sqrt{15}}{1-\sqrt{15}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎1+\sqrt{15}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{15}\right)\left(1+\sqrt{15}\right)}{\left(1-\sqrt{15}\right)\left(1+\sqrt{15}\right)}$$

שקול את \left(1-\sqrt{15}\right)\left(1+\sqrt{15}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{15}\right)\left(1+\sqrt{15}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{15}\right)^{2}}$$

‎1 בריבוע. ‎\sqrt{15} בריבוע.

$$\frac{\left(1+\sqrt{15}\right)\left(1+\sqrt{15}\right)}{1-15}$$

החסר את 15 מ- 1 כדי לקבל -14.

$$\frac{\left(1+\sqrt{15}\right)\left(1+\sqrt{15}\right)}{-14}$$

הכפל את ‎1+\sqrt{15} ו- ‎1+\sqrt{15} כדי לקבל ‎\left(1+\sqrt{15}\right)^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{15}\right)^{2}}{-14}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(1+\sqrt{15}\right)^{2}.

$$\frac{1+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{15}\right)^{2}}{-14}$$

הריבוע של ‎\sqrt{15} הוא ‎15.

$$\frac{1+2\sqrt{15}+15}{-14}$$

חבר את ‎1 ו- ‎15 כדי לקבל ‎16.

$$\frac{16+2\sqrt{15}}{-14}$$