פתור את 1/x-1+1/2x+1

$$\frac{ 1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ 2x+1 }$$

הערך

$$\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

שלבי פתרון קצר

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎x-1 ו- ‎2x+1 היא \left(x-1\right)\left(2x+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{x-1} ב- ‎\frac{2x+1}{2x+1}. הכפל את ‎\frac{1}{2x+1} ב- ‎\frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

מכיוון ש- \frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} ו- \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{2x+1+x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

כינוס איברים דומים ב- 2x+1+x-1.

$$\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

פיתוח ‎\left(x-1\right)\left(2x+1\right).

$$\frac{3x}{2x^{2}-x-1}$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$-\frac{3\left(2x^{2}+1\right)}{\left(\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\right)^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש בכלל נגזרת של מנה

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎x-1 ו- ‎2x+1 היא \left(x-1\right)\left(2x+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{x-1} ב- ‎\frac{2x+1}{2x+1}. הכפל את ‎\frac{1}{2x+1} ב- ‎\frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

מכיוון ש- \frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} ו- \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+1+x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

כינוס איברים דומים ב- 2x+1+x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

החל את חוק הפילוג על-ידי הכפלת כל איבר של x-1 בכל איבר של 2x+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{2x^{2}+x-2x-1})$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{2x^{2}-x-1})$$

עבור כל שתי פונקציות גזירות, הנגזרת של המנה של שתי הפונקציות היא המכנה כפול הנגזרת של המונה פחות המונה כפול הנגזרת של המכנה, כשהתוצאה המתקבלת מחולקת במכנה בריבוע.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1})-3x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{2}-x^{1}-1)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

הנגזרת של פולינום היא סכום הנגזרות של האיברים שלו. הנגזרת של איבר קבוע היא 0. הנגזרת של ax^{n} היא nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\times 3x^{1-1}-3x^{1}\left(2\times 2x^{2-1}-x^{1-1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

פשט.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\times 3x^{0}-3x^{1}\left(4x^{1}-x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

הכפל את ‎2x^{2}-x^{1}-1 ב- ‎3x^{0}.

$$\frac{2x^{2}\times 3x^{0}-x^{1}\times 3x^{0}-3x^{0}-3x^{1}\left(4x^{1}-x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

הכפל את ‎3x^{1} ב- ‎4x^{1}-x^{0}.

$$\frac{2x^{2}\times 3x^{0}-x^{1}\times 3x^{0}-3x^{0}-\left(3x^{1}\times 4x^{1}+3x^{1}\left(-1\right)x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

כדי להכפיל חזקות בעלות בסיס זהה, חבר את המעריכים שלהן.

$$\frac{2\times 3x^{2}-3x^{1}-3x^{0}-\left(3\times 4x^{1+1}+3\left(-1\right)x^{1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

פשט.

$$\frac{6x^{2}-3x^{1}-3x^{0}-\left(12x^{2}-3x^{1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

כנס איברים דומים.

$$\frac{-6x^{2}-3x^{0}}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

עבור כל איבר t,‏ t^{1}=t.

$$\frac{-6x^{2}-3x^{0}}{\left(2x^{2}-x-1\right)^{2}}$$

עבור כל איבר t מלבד 0,‏ t^{0}=1.

$$\frac{-6x^{2}-3}{\left(2x^{2}-x-1\right)^{2}}$$