פתור את 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2.375+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2.375-1.452368755i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לכתוב את השבר ‎\frac{-2}{3} כ- ‎-\frac{2}{3} על-ידי חילוץ הסימן השלילי.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ו- ‎-\frac{2}{3} כדי לקבל ‎-\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -\frac{1}{9} ב- 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ב- 2x+7 ולכנס איברים דומים.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

החסר את 3 מ- -\frac{35}{9} כדי לקבל -\frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -\frac{8}{9} במקום a, ב- -\frac{38}{9} במקום b, וב- -\frac{62}{9} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

העלה את ‎-\frac{38}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

הכפל את ‎\frac{32}{9} ב- ‎-\frac{62}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

הוסף את ‎\frac{1444}{81} ל- ‎-\frac{1984}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

ההופכי של ‎-\frac{38}{9} הוא ‎\frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{38}{9} ל- ‎\frac{2i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

חלק את ‎\frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} ב- ‎-\frac{16}{9} על-ידי הכפלת ‎\frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} בהופכי של ‎-\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{2i\sqrt{15}}{3} מ- ‎\frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

חלק את ‎\frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} ב- ‎-\frac{16}{9} על-ידי הכפלת ‎\frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} בהופכי של ‎-\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לכתוב את השבר ‎\frac{-2}{3} כ- ‎-\frac{2}{3} על-ידי חילוץ הסימן השלילי.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ו- ‎-\frac{2}{3} כדי לקבל ‎-\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -\frac{1}{9} ב- 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ב- 2x+7 ולכנס איברים דומים.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

הוסף ‎\frac{35}{9} משני הצדדים.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

חבר את ‎3 ו- ‎\frac{35}{9} כדי לקבל ‎\frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

חילוק ב- ‎-\frac{8}{9} מבטל את ההכפלה ב- ‎-\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

חלק את ‎-\frac{38}{9} ב- ‎-\frac{8}{9} על-ידי הכפלת ‎-\frac{38}{9} בהופכי של ‎-\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

חלק את ‎\frac{62}{9} ב- ‎-\frac{8}{9} על-ידי הכפלת ‎\frac{62}{9} בהופכי של ‎-\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

חלק את ‎\frac{19}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{19}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{19}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{19}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{31}{4} ל- ‎\frac{361}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

פרק x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

פשט.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

החסר ‎\frac{19}{8} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$