פתור את x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

פתור עבור x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 21, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 7,3.

$$3x+7y=105$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎14.

$$-x+42y=364$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+7y=105$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-7y+105$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{3}+35 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

הוסף את ‎\frac{7y}{3} ל- ‎42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

הוסף ‎35 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{133}{3}y=399$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{133}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{3}y+35. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

הכפל את ‎-\frac{7}{3} ב- ‎9.

$$x=-21+35$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-21.

$$x=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 21, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 7,3.

$$3x+7y=105$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎14.

$$-x+42y=364$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=14,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 21, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 7,3.

$$3x+7y=105$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎14.

$$-x+42y=364$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

פשט.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

החסר את ‎-3x+126y=1092 מ- ‎-3x-7y=-105 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-7y-126y=-105-1092$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎-126y.

$$-133y=-105-1092$$

הוסף את ‎-105 ל- ‎-1092.

$$-133y=-1197$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-133.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎-x+42y=364. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+42\times 9=364$$

הכפל את ‎42 ב- ‎9.

$$-x+378=364$$

החסר ‎378 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=9$$