פתור את x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

פתור עבור x

$$x=2$$

$$x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -1,1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}+2x+1 ב- x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}-2x+1 ב- x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

כנס את ‎x^{5} ו- ‎-x^{5} כדי לקבל ‎0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

כנס את ‎-x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎-2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

כנס את ‎2x^{4} ו- ‎2x^{4} כדי לקבל ‎4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

כנס את ‎-2x ו- ‎2x כדי לקבל ‎0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

כנס את ‎x^{3} ו- ‎-x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

החסר את 1 מ- -1 כדי לקבל -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 6 ב- x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 6x^{2}-12x+6 ב- x^{2}+2x+1 ולכנס איברים דומים.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

החסר ‎6x^{4} משני האגפים.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

כנס את ‎4x^{4} ו- ‎-6x^{4} כדי לקבל ‎-2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

הוסף ‎12x^{2} משני הצדדים.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

כנס את ‎-2x^{2} ו- ‎12x^{2} כדי לקבל ‎10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

החסר את 6 מ- -2 כדי לקבל -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

השתמש ב- ‎t במקום ‎x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎-2 ב- a, את ‎10 ב- b ואת ‎-8 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

פתור את המשוואה ‎t=\frac{-10±6}{-4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$t=1 t=4$$

מאחר ש- x=t^{2}, הפתרונות מתקבלים על-ידי הערכת x=±\sqrt{t}‎ עבור כל t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים 1,-1.

$$x=-2 x=2$$