פתור את x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

פתור עבור x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10.242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1.757359313$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

החסרת -2 מעצמו נותנת 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

החסר ‎-2 מ- ‎0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- \frac{1}{9} במקום a, ב- -\frac{4}{3} במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

העלה את ‎-\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{9} ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

הוסף את ‎\frac{16}{9} ל- ‎-\frac{8}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

ההופכי של ‎-\frac{4}{3} הוא ‎\frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎\frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

חלק את ‎\frac{4+2\sqrt{2}}{3} ב- ‎\frac{2}{9} על-ידי הכפלת ‎\frac{4+2\sqrt{2}}{3} בהופכי של ‎\frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{2\sqrt{2}}{3} מ- ‎\frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

חלק את ‎\frac{4-2\sqrt{2}}{3} ב- ‎\frac{2}{9} על-ידי הכפלת ‎\frac{4-2\sqrt{2}}{3} בהופכי של ‎\frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

חילוק ב- ‎\frac{1}{9} מבטל את ההכפלה ב- ‎\frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

חלק את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎\frac{1}{9} על-ידי הכפלת ‎-\frac{4}{3} בהופכי של ‎\frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎\frac{1}{9} על-ידי הכפלת ‎-2 בהופכי של ‎\frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

חלק את ‎-12, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-6. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -6 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

‎-6 בריבוע.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

פרק x^{2}-12x+36 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

פשט.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$