פתור את f/11=g/33,text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

פתור עבור f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 33, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 11,33.

$$3f=g$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

השתמש ב- ‎\frac{g}{3} במקום ‎f במשוואה השניה, ‎f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

הוסף את ‎\frac{g}{3} ל- ‎g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$g=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום g ב- ‎f=\frac{1}{3}g. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את f ישירות.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎30.

$$f=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$f=10,g=30$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 33, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 11,33.

$$3f=g$$

החסר ‎g משני האגפים.

$$3f-g=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3f-g=0,f+g=40$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה f ו- g.

$$f=10,g=30$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 33, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 11,33.

$$3f=g$$

החסר ‎g משני האגפים.

$$3f-g=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3f-g=0,f+g=40$$

כדי להפוך את ‎3f ו- ‎f לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

פשט.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

החסר את ‎3f+3g=120 מ- ‎3f-g=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

הוסף את ‎3f ל- ‎-3f. האיברים ‎3f ו- ‎-3f מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-g-3g=-120$$

הוסף את ‎-g ל- ‎-3g.

$$-4g=-120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$g=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום g ב- ‎f+g=40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את f ישירות.

$$f+30=40$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$f=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$f=10,g=30$$